什么是平行线和垂直线？什么是平行线

相对论（14）宇宙中没有平行线，任何平行线都会相交

上回我们说到，爱因斯坦通过非凡的思想实验，将引力的作用效果和时空结构等价了起来，他认为我们感受到的引力，只是时空发生了弯曲。弯曲的时空决定了物质的运动轨迹，所以我们就产生了有引力作用的错觉。

那么爱因斯坦接下来需要做的就是建立一个弯曲时空的引力理论。弯曲的时空？这有点违背人们的直觉，我们能感受到的空间好像是平坦的，没有弯曲，至少我们看不见空间是弯曲的。

这就是爱因斯坦的过人之处，能够撇开直觉的影响，仅凭思维就窥见出事物背后的本质，在他研究弯曲空间的时候，由于爱因斯坦的数学能力有限，他就找了大学同学格罗斯曼，格罗斯曼是非欧几何方面的专家，他就建议爱因斯坦关注下黎曼几何，可以解决弯曲空间的问题。

除此之外，爱因斯坦还专门花了一年的时间，在大学里恶补了微积分。这才有了广义相对论的数学形式，而黎曼几何也就成为了广义相对论的基础。

为了能够真正地了解时空的弯曲，我们需要知道人类对空间几何的认识。

人类对世界的认识是从经验规律开始的，所以直觉在早期的科学发展中起到了非常重要的作用，因此跟大多数的人一样，数学家、物理学家一开始都认为我们生活在一个平直的空间中，处处均匀、处处平坦。

因此我们的几何学也是从平直的空间开始，那就是我们非常熟悉的欧几里得几何学，称为欧式几何。

欧式几何堪称人类早期逻辑思维的典范，它从5条公理出发，经过逻辑演绎推导出了23个定理，解决了467个命题。是人类建立的第一个完整的、逻辑严密的公理体系。

前面我们也多次提到，牛顿的《原理》以及爱因斯坦的《论动体的电动力学》在形式上跟欧几里得的《几何原本》是一样的，定义、假设、推导、结论！

所以说欧式几何非常的完美，也很符合生活经验，因此就统治了人类长达数千年的时间，人们也认为欧式几何完美地描述了物理现实，我们的宇宙就是平直的空间。

但是到了19世纪，人们就发现欧式几何中的第五条公设貌似存在问题，这条公设是对平行线的定义，说简单点就是，过直线外一点，仅可做一条直线与已知直线平行。

人们就觉得第五条公设表述得很复杂，看起来更像是个可以被证明的定理，而不是公设。所以大批的数学家就想利用前四条公设，去证明第五条公设，但是都遭遇了失败。

1920年代，俄罗斯的数学家罗巴契夫斯基另辟蹊径，使用了反证法想证明欧氏几何中的第五条公式。

他提出了一个和欧氏平行线公理相矛盾的命题，来取代第五条公设，即：过已知直线外的一点，至少可以做两条直线与其平行。

在加上前四条公设，罗巴契夫斯基经过一阵推理，结果发现得出来的结论在逻辑上没有一点矛盾。

所以罗巴契夫斯基就相信，根据新的公理体系推导出来的一系列新的定理，构成了一个完整的新理论。

这个新理论跟欧氏几何一样完备。成为了一个新的几何，称为罗氏几何。

在当时可以说所有的数学家都搞不懂，罗巴契夫斯基在说什么？尤其是看到他的文章中说，过直线外一点可以做两条以上的平行线，认为这是离经叛道的歪理邪说。

唯独高斯知道罗巴契夫斯基的新几何学，而高斯选择了沉默，因为当时欧氏几何得到了教会的支持，高斯年事已高，已经功成名就，他不愿意在冒任何风险，所以高斯也不敢表态。

因此罗巴契夫斯基在世的时候他的几何并没有机会发表，因为任何人一看都认为是在胡扯，我们生活在一个平直的空间中，怎么能存在这种奇怪的几何？

现在我们知道罗巴契夫斯基说的是双曲几何，也就是在负曲率曲面（马鞍面）上的几何。在这种曲面上，过直线外一点至少可以做两条直线与已知直线平行。

而且负曲率曲面上画一个三角形，其内角之和将小于180度。

1854年，高斯的学生黎曼，还发现存在一种几何情况，在球面上三角形的内角和将大于180°。

而且在一个球面上，无法做已知直线的平行线。黎曼更改欧氏几何的第五条公设，就发展出了椭球几何，称为黎曼几何。

可以看出欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何，这三种几何都描述了空间的形状，欧式几何描述的是平坦的0曲率空间，在其中可以做一条平行线，三角形的内角和等于180度，是其他两种几何的特殊情况。

罗氏几何描述的是弯曲的负曲率空间，也就是马鞍的样子，在其中至少可以做两条平行线，三角形的内角和小于180度。

黎曼几何描述的是弯曲的正曲率空间，也就是球形的形状，在其中不能做已知直线的平行线，三角形的内角和大于180度。

现在有了可以描述弯曲空间的几何，爱因斯坦的理论就有了坚实的数学基础，他利用黎曼发明出来的数学工具度规张量，从数学上描述了弯曲的时空结构，开创了广义相对论。

广义相对论认为，物质可以弯曲时空，曲率为正，空间曲率又告诉了物质如何运动！那么物质如何在弯曲的空间中运动？

当然是沿着空间的曲率运动，就像是我们在地球表面运动一样，按照的是地球表面的曲率在运动，当我们处在弯曲的空间中的时候，我们也会按照空间曲率运动。

那么空间的曲率又如何体现呢？就是测地线，比如在地球上，两点之间最短的距离是过两点的大圆弧，这个大圆弧就是测地线，而且这个测地线还体现了地球的曲率。

而在弯曲的空间中，测地线就是空间中两点之间最短的距离。光在空间中也不再沿着直线传播，而是沿着空间的测地线传播，测量弯曲空间中的测地线，我们就能测量出空间的曲率。

所以说，在我们的地球上根本就没有所谓的欧氏平面直线，只有曲线，而且在地球这个局部的正弯曲空间中，也没有所谓的平行线。

那么在整个宇宙中呢？欧氏几何中的平行线也只在局部成立，比如我们现在观察到可观测宇宙几乎是平坦的，没有任何曲率，所以在可观测宇宙这个尺度上，我们就认为存在平行线。

但是整个宇宙空间我们依然认为是一个正曲率，也就是整个宇宙是闭合的球体，因此我们现在认为宇宙是有限无界的，就像是地球表面，有限大小，但是没有界限。

你从地球表面不停的行走，找不到所谓的界限，只是在不停的兜圈子。宇宙也一样，朝着一个方向不断地前进，你会发现你其实是在兜圈子。

因此爱因斯坦曾经说过这样一段话，如果你一直盯着前方看，你会看到你的后脑勺。

意思是说，你的后脑勺反射出来的光，不断地飞行，会在宇宙中旅行一圈，又回到你的眼睛中，因为宇宙是一个闭合的球体。

所以对于整个宇宙的形状来说，也就是没有所谓的平行线了。