数学笔记-同济第七版高数(上)-第一章-函数与极限-连续函数运算

一、连续函数运算-四则运算

设f(x),g(x)在x=x0处连续，则：

1、f(x)±g(x)在x=x0处连续

2、f(x)g(x)在x=x0处连续

3、若g(x)≠0,则f(x)/g(x)在x=x0处连续

证明:

因为f(x),g(x)在x=x0处连续

所以lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)

（1）

lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=lim(x->x0)f(x)±lim(x->x0)g(x)=f(x0)±g(x0)

所以f(x)±g(x)在x=x0处连续

（2）

lim(x->x0)[f(x)g(x)]=lim(x->x0)f(x)lim(x->x0)g(x)=f(x0)g(x0)

所以f(x)g(x)在x=x0处连续

（3）

g(x)≠0

lim(x->x0)[f(x)/g(x)]=lim(x->x0)f(x)/lim(x->x0)g(x)=f(x0)/g(x0)

所以f(x)/g(x)在x=x0处连续

二、连续函数运算-复合运算

y=f(u), u=g(x), g(x)≠a

若：lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a, 则lim(x->x0)[f(g(x))]=A

即：lim(x->x0)[f(g(x))]=f[lim(x->x0)g(x)]=f(a)

所以求极限遇到复合函数可以将lim往子函数里面“钻”

如：lim(x->0)arctanx((1-x)/(1+x))=arctan[lim(x->0)((1-x)/(1+x))]=arctan1=π/4

三、初等函数连续性

1、基本初等函数

（1）x^a

（2）a^x, (a>0且a≠1)

（3）loga(x)，(a>0且a≠1)

（4）sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx

（5）arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx

2、基本初等函数在其定义域内连续

3、初等函数(基本初等函数与常数进行四则或复合而成的函数)在其定义域内连续

例1：lim(x->2)[x^3-3x^2+4]

此函数为初等函数，在定义域内连续，由连续的性质的值极限值等于该点函数值

所以：原式=0

例2：lim(x->0)[(1+2x)/(1-x)]^(1/sin2x)

=lim(x->0)[1+3x/(1-x)]^(1/sin2x)

=lim(x->0)[1+3x/(1-x)]^[((1-x)/3x)*(3x/sin2x)*(1/1-x)]

=e^[lim(x->0)[(3x/sin2x)*(1/1-x)]]

=e^[lim(x->0)(3x/sin2x)*lim(x->0)(1/1-x)]

=e^(3/2)