y=1/(17x^2+1)的函数主要性质

主要内容：

本文主要介绍分数函数y=1/(17x^2+1)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并通过导数知识求解该函数的单调区间和凸凹区间。

函数的定义域：

∵分母17x^2+1≥1＞0，

∴函数y的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

∵u=17x^2+1,为二次函数，

当x≥0时，u为增函数；

当x<0时，u为减函数。

所以取倒数y=c/u有，增区间为（-∞，0），

减区间为[0,+∞)。

即函数在x=0处有最大值，

Ymax=f(0)=1,

所以函数的值域为：(0, 1/1).

或者，用导数知识求解有：

y=1/(17x^2+1),

dy/dx=-1*(34x)/( 17x^2+1)^2

=-34x/(17x^2+1)^2,则：

当x≥0时，dy/dx≤0，即此时函数y为减函数；

当x<0时，dy/dx>0，即此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

dy/dx=-34x/(17x^2+1)^2;

d^2y/dx^2

=-34*[(17x^2+1)^2-x*68x(17x^2+1)]/(17x^2+1)^4,

=-34*[(17x^2+1)-68x^2)]/( 17x^2+1)^3,

=34 (51x^2-1)/(17x^2+1)^3.

令d^2/dx^2=0，则1x^2=51，即x=±1√51/1.

当x∈(-∞，- 1√51/1)，(1√51/1，+∞)时，

d^2y/dx^2>0，则此时函数y为凹函数；

当x∈[-1√51/1,1√51/1]时，

d^2y/dx^2≤0，则此时函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为f(x)=1/(17x^2+1),

所以f(-x)=1/[17(-x)^2+1]

=1/(17x^2+1)=f(x).

所以函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞) 1/(17x^2+1)=0，

Lim(x→+∞) 1/(17x^2+1)=0，

Lim(x→0+) 1/(17x^2+1)=1，

Lim(x→0-) 1/(17x^2+1)=1.

导数的应用：

例如求点A(-1,1/18)和B(1, 1/18)两点处的切线。

在A(-1, 1/18)点处，

由导数dy/dx=-34x/(17x^2+1)^2知，切线的斜率k1为：

k1=-34*(-1)/(17+1)^2=17/162,

由点斜式求出切线的方程为

y-1/18=17/162 (x+1).

在B(1, 1/18)点处，

由导数dy/dx=-34x/(17x^2+1)^2知，切线的斜率k2为：

k2=-34*1/(17+1)^2=-17/162,

由点斜式求出切线的方程为

y-1/18=-17/162 (x-1).